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こんにちは。
早速ですが↑の問題は先日社内で行われた会議で取り上げられたものです。
我々萌昇ゼミの講師陣は、日々各自が研鑽を積みつつ、それでいて独りよがりな指導にならぬようお互いの見解を
交流する研修(もとい会議)を定期的に行っています。
さて、そういうわけで今回はこの問題の私なりの解答を紹介してみようと思います。
是非一度考えてから読んでいただけると嬉しいです。
<今回の問題の着眼点>
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・絶対値が煩わしいので早い段階で場合分けして外しておきたい ・f(x)とg(x)の形が似ていることから対称性に気付きたい(f(-x)=g(x)) |
以下、まずは(1)(2)の解答です。
はい、とりあえずできました。
f(x)とg(x)のグラフを両方考えるのは面倒なのでh(x)とx軸で考えるのが個人的にはオススメですかね。
aの範囲やxの定義域に混乱しなければしっかり解答できるでしょう。
ではいよいよ(3)です。
(1)(2)の流れを汲みながら、CとD共有点について考えていきます。
ポイントとなる4点です↓
Point 1(1)の結果よりa≧1のとき、f(a)<g(a)およびf(2a)>g(2a)。 |
Point 2(1)の結果よりf(a)<g(a)。 |
Point 3(2)の過程よりh(0)=0、つまりf(0)=g(0)となりCとDはx=0で共有点を持つ。 |
Point 4f(-x)=g(x)よりC,Dはy軸に関して対称 |
①②③からa>1であれば0≦xで既に3個以上の共有点を持ってしまうのです。
更に④を踏まえると、x<0に2個以上の共有点を持つことになります。
結局a>1のときxが実数全体を動くならば,少なくとも5個の共有点が存在します。
となるともうaの値は1で間違いないだろうと予想が立ちますね。
あとはそれを記述していきます。
ということで(3)の解答です。
はい、できました。
以下、補足という名の言い訳。
・(3)のa>1の場合のグラフを書く際に、x=aの点をもっと明らかに微分不可能な点であるように書くべきでした。
・中間値の定理の名を堂々と持ち出そうかとも思いましたが、適用する閉区間などの条件を丁寧に記述すると多少
迂遠な解答になりそうで敢えて避けて通りました。
まぁ論理的には実質使っていますが。
・limはなくてもいいかなと思いましたがグラフ書きたかったんで調べてみました。
ただその調べ方が雑すぎるので、もっと丁寧に書くべきだったかと反省してます。(でも直さない)
疲れた。
ということでまた数学の話題があれば記事書きますー今回はこれでさようならー。
