2021京都大学理系第1問

こんにちは。

いきなりですが、先日社内で行われた萌昇数学科会議についてお話させてください。

その会議については以前の記事の冒頭をご覧ください。

今回の議題は高校数学における『外積』の扱い方です。

外積について

本来は大学で学ぶ概念ですが、大学受験にも活きる受験テクニックとして一部では認知されています。

外積の計算はとっつきづらいんですが、2次正方行列の行列式(左上右下-右上左下)とほぼ同じイメージで計算できます。

ただしy成分だけ符号が逆であることに注意です。

以上が外積の概説です。

前述のとおり外積は通常高校数学の範囲外であり、外積の知識そのものを前提として問題が出題されることは通常ありません。

しかし知っていれば有利になる問題は多く、難関大学を目指す人の間ではそれなりに有名な知識になっていることは否めません。

記述解答に使ってよいか

わかりません。

この議論は古より幾億回も繰り返されています。

無難なのは「使わない」「検算にとどめる」「証明してから使う」などです。

ただし私自身の感覚では「正しい記述ができれば何を使おうと減点はされない」という風潮は近年強まりつつあるような気がします(当てにしないでくださいね)。

結局、大学や年度によって採点基準も異なるでしょう。

個人的には、こういった知識を正しく理解し、解答に反映できる人は多少減点されようがしっかり合格点を取れるんじゃないかと思っています。

2021京都大学理系第1問

会議を通して新しい知見もあり、いつものことながら大変勉強になりました。

最後にこの会議で取りあげられた例題と、私なりの解答を紹介して終わりたいと思います。

是非一度考えてからご覧になっていただけると嬉しいです。

※本来は外積を使わず、「A,B,C,Mが共面であること」「PM→⊥αから内積計算をする」ことの方がスタンダードな発想であり着眼すべき事です。今回の着眼点は「外積を使って解くぞ！」と燃えている人のそれだと思ってください。

以下、解答です。

できました。

以下、いつもの補足という名の言い訳。

《補足》

・各切片が分かっている平面の方程式の公式を使えば、ベクトル方程式を用いずとも平面の方程式は求まりますが、外積以上にマイナーな知識な気がして今回は避けました。
(あとせっかく求めた外積を活かしたかった)

・x,y,z軸を取って図を書けば、外積の方向がαからP方向であることは明らかなのですが、今回は
座標軸を意識しなかったので、外積とAP→の内積の正負によって外積の方向を判断しました。

・大きさのみ分かっているあるベクトルa→を求める際に、それと平行なベクトルd→の単位ベクトルを利用しa→=|a→|・(1/|d→|)・d→とすることができます(a→とd→が逆向きなら-も掛けます)。
今回で言えばPQ→=2PM→=-2・|PM→|・(1/(|AB→×AC→|))・(AB→×AC→)=-2・(1/3)・(1/3)・(-2,2,-1)となるわけですね。

解答では|AB→×AC→|と|PM→|の整数比を求めることで1/9を掛けています。

やっていることは単位ベクトルの利用と全く同じな訳ですが、単位ベクトルを利用(というか経由)する意識自体はベクトルを自在に操るためのいい演習になります。

これは生徒の皆さんに習得してほしいことでもあるのでここで補足させていただきます。

ということでまた数学の話題があれば記事書きますー

今回はこれでさようならー。